Εκτέλεση

• Βάζουμε σε ένα μπρίκι το νερό, ρίχνουμε το γλυκάνισο και αφήνουμε να πάρει 1-2 βράσεις. Σβήνουμε τη φωτιά και αφήνουμε το νερό να γίνει χλιαρό. Το σουρώνουμε σε ένα μπολάκι και προσθέτουμε τη μαγιά θρυμματισμένη και 2 κουταλιές από το μετρημένο αλεύρι. Ανακατεύουμε καλά μέχρι να δημιουργηθεί ένα πολύ πυκτός χυλός. Σκεπάζουμε με πετσέτα και αφήνουμε το μπολ σε ζεστό μέρος για 40 λεπτά, μέχρι να φουσκώσει και να γεμίσει μικρές φουσκαλίτσες.
• Βάζουμε σε ένα κατσαρολάκι το γάλα και το βούτυρο και τα αφήνουμε σε πολύ χαμηλή φωτιά μέχρι να λιώσει το βούτυρο. Αποσύρουμε από τη φωτιά, προσθέτουμε η ζάχαρη και ανακατεύουμε μέχρι να λιώσει.
• Βάζουμε στον κάδο του μίξερ το αλεύρι, το μαχλέπι, τη μαστίχα, το αλάτι και τα αυγά και ξεκινάμε να ανακατεύουμε με χαμηλή ταχύτητα. Προσθέτουμε το μείγμα του γάλακτος και μόλις ενσωματωθεί δυναμώνουμε το μίξερ και προσθέτουμε την φουσκωμένη μαγιά. Αφήνουμε τη ζύμη να δουλευτεί για περίπου 10 λεπτά μέχρι να δημιουργηθεί μια απαλή και ελαστική ζύμη. Μεταφέρουμε τη ζύμη σε ελαφρώς βουτυρωμένο μπολ, σκεπάζουμε με μεμβράνη και αφήνουμε τη ζύμη σε ζεστό μέρος για 2 ώρες μέχρι να φουσκώσει.
• Μεταφέρουμε τη ζύμη στον πάγκο της κουζίνας, τη ζυμώνουμε ελαφρά και την μεταφέρουμε σε βουτυρωμένο ταψάκι διαμέτρου 24-26 εκ. Πιέζουμε με τα χέρια μας για να καλύψει όλο το ταψάκι, σκεπάζουμε και αφήνουμε σε ζεστό μέρος για 1½ ώρα μέχρι να φουσκώσει και πάλι.
• Αλείφουμε τη βασιλόπιτα με το χτυπημένο ασπράδι, πασπαλίζουμε με τα σουσάμια και ψήνουμε στους 160°C αερόθερμο για 20-25 λεπτά.